课程教学大纲   上一页 下一页

课程编号

08151930

开课学院

理学院

开课系

数学系

课程名称

中 文

工科数学分析

课程类别

专业必修课

英 文

Mathematical Analysis for Engineering

课程学时

总学时

理论教学

实验教学

 

课程设计

208

208

0

0

课程简介:
简要描述课程的性质及专业地位,培养目标(理论、能力和技能)

   “工科数学分析”是高等教育教学计划中各类工科学生必修的一门重要的基础课。内容有极限论、一元函数和多元函数的微分学、积分学和级数论、微分方程等。“工科数学分析”通过系统地学习极限思想和方法,为学生学习后续课程和解决实际问题奠定坚实的数学基础;逐步培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力,创新思维能力、熟练的运算能力和自学能力,从而提高学生的数学素质,培养学生创造性地应用数学知识和技术来分析、解决实际问题的能力。

    由于现行的高等数学教学内容,是基于为工科专业解决所需的数学基础知识与基本运算能力所设置的,主要涉及到微积分。近年来,随着教学改革的深入,高等数学的教学内容已有了较大的改进。但由于专业的不同,目前尚无一个统一的规范。但大多不深入涉及微积分的基础——数学分析基础的内容,也很少包含对工程学科发展起着极其重要作用的现代数学的一些基本内容。为此,学校针对工科强化班的学生开设了本课程,增加了分析基础、点集拓扑初步、向量值函数的微分学、微分几何初步、Lebesgue积分与泛函分析初步、微分方程稳定性理论等重要内容。其中分析基础的内容包含实数的确界概念与确界原理,无穷小分析概念,子数列,Cauchy原理与海涅定理的证明,一致连续性概念,连续函数性质的证明,Riemann可积性概念与Riemann积分的性质,可积函数类的证明,而现行数学专业《数学分析》教材中的上、下极限,Borel有限覆盖定理等内容没有列入教学计划。这样,从教学内容上既可满足工科学生参加全国研究生入学数学统一考试的要求,又可满足学生深入理解微积分的内容与提高数学分析能力的要求,对以后的学习和科研打下一个良好的数学基础。

    由于数学肩负训练数学技术及培养文化素质的双重任务,因此教师传授知识的同时要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、科学计算与逻辑推理能力、直观想象能力、自学能力和数学语言表达能力。要求学生对基本概念叙述要准确,理解要完整,基本定理要正确理解并能应用,对基本运算要求熟练、迅速、准确。

前修课程、能力和知识结构要求:

    明确学生学习本门课程的先修课程,主要能力和知识结构。

    作为工科学生大学学习的第一门数学课程,要求学生熟练掌握有关初等数学(初中和高中数学)的知识体系,具体包括:算数(实数与复数的四则运算、运算法则等),集合的基本概念和运算,多项式的四则运算及其因式分解,一元二次方程和多元一次方程组的解法,函数的基本概念与性质,几种重要函数(二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等)的基本性质和运算,初等几何(包括平面几何和立体几何),向量的基本概念和运算,平面解析几何等。要求学生必须具备熟练的运算能力,基本的逻辑证明方法(反证法、数学归纳法等)和清晰的逻辑思维能力。

    通过本课程的学习,要使学生获得:函数、极限、连续;一元函数微积分学;多元函数微积分学及场论初步、无穷级数、常微分方程以及数学物理方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算,具有较强解决实际问题的能力。在教材处理时,要确保绝大多数学生将基本内容学到手。交待清楚问题的来龙去脉以使学生能更深刻地理解和掌握基本内容并为学习后续课程打下比较扎实的数学基础。在教师进行逻辑推导及学生进行逻辑训练方面均要充分考虑大部分学生的可接受性及学时的限制。有些内容可以不讲, 如附录,或把重点放在思想方法的启迪上。还有一些内容要根据不同专业进行适当调整。

课程结构说明:

    对课程的组织结构进行简要说明,即明确课程所述内容由几个大的部分构成,每个部分的教学由哪几个环节或单元组成(如:理论授课、实验教学,上机实习,课外作业,随堂考试,讨论会,总结报告等)

绪论                             2学时    理论授课、课后答疑
第一章    函数、极限、连续          22学时   理论授课、习题课、课外作业、课后答疑
第二章    一元函数微分学及其应用    26学时   理论授课、习题课、课外作业、课后答疑
第三章    一元函数积分学及其应用    28学时   理论授课、习题课、课外作业、课后答疑
第四章    无穷级数                  16学时   理论授课、习题课、课外作业、课后答疑
第一学期总复习                   2学时    总结报告、课后答疑
附加内容    空间解析几何         8学时    理论授课、习题课、课外作业、课后答疑
第五章    多元函数微分学及其应用    38学时   理论授课、习题课、课外作业、课后答疑
第六章    多元函数积分学及其应用    40学时   理论授课、习题课、课外作业、课后答疑
第七章    常微分方程                24学时   理论授课、习题课、课外作业、课后答疑 
第八章 无穷维分析初步                    (自学 内容,不安排课堂学时)
第二学期总复习                   2
学时    总结报告、课后答疑

课程知识结构说明:

    明确课程涉及的学科知识领域、知识单元,每个知识单元由哪些知识点构成以及每个知识单元的学习目标,明确核心知识点(用“*”标示)和扩展性知识点(用“Δ”标示)、必讲要求和选讲及自学要求。课程学时分布(按知识单元说明,并对核心知识点与较大的知识点进行必要的学时标注)。课程如包含实验或实践性等环节,还需要说明该部分的学时要求以及内容、方案和作用。

(一)、映射、极限与连续(22学时)

1.理解确界、映射、逆映射、复合映射等概念,掌握确界定理,了解实数理论

2.理解函数、反函数、复合函数、初等函数等概念,了解函数的几种简单性质。

3.熟悉基本初等函数的性质及图形。

4.理解数列极限的定义,掌握收敛数列的性质、数列极限的运算法则和数列极限的存在准则*,熟悉区间套定理和致密性定理Δ

5.理解函数极限的概念,掌握函数极限的性质,熟练掌握函数极限的四则运算法则*

6.理解函数极限存在准则,掌握两个重要极限,会利用其来求极限*

7.理解无穷小与无穷大的概念,掌握无穷小的性质、无穷小的比较,了解无穷小与无穷大的关系,
掌握等价无穷小替换法。

8.理解函数连续的概念,掌握连续函数的性质、函数的间断点及其分类*

9.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质

(二)、一元函数微分学及其应用(26学时)

1.理解导数和微分的概念,了解导数的几何意义,熟悉导数与连续的关系*

2.熟悉导数和微分的运算法则,掌握基本函数的导数和微分公式*.

3.熟练掌握复合函数求导法则,掌握由隐函数和参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求法*

4.理解罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理,熟练掌握利用罗必塔法则求函数极限的方

法,熟悉函数的Taylor公式*

5.理解函数的极值概念,掌握利用函数导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,会求函数的最

值问题*

6.理解凸函数的概念及性质定理,熟悉函数图形凹凸性的判别方法Δ

()、一元函数积分学及其应用(28学时)

1.理解定积分和不定积分的概念与性质,熟悉不定积分的基本公式,掌握积分上限函数的导数,
熟悉牛顿-莱布尼兹公式*。

2.掌握不定积分和定积分的换元法、分部积分法,会求简单的有理函数的积分*

3.掌握定积分的微元法,并利用其计算一些几何量和物理量(如面积、特殊立体体积、曲线弧长、变
力做功、水压力和引力等) * 。

4.理解反常积分的概念,掌握无穷区间上积分与无界函数积分的审敛准则

5.理解一阶微分方程的基本概念,掌握一阶变量分离方程、齐次方程、线性方程的通解的求法,
熟悉可降阶的高阶微分方程的求法,掌握建立实际问题的微分方程数学模型的方法*Δ。

(四)无穷级数(16学时)

1.理解常数项无穷级数收敛的定义及性质,熟悉无穷级数收敛的必要条件和几何级数、p-级数的敛散性*。
2.熟练掌握正项级数的审敛法和交错级数的审敛法*

3.理解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念*

4.理解函数项级数的收敛域及和函数的概念,掌握Abel定理和幂级数的收敛域的求法*

5.熟悉求较简单幂级数的和函数和将函数展成泰勒级数的方法Δ.

6.理解傅立叶级数的概念和狄里克雷定理,熟练掌握将函数展开为傅立叶级数的方法Δ

(补充内容)空间解析几何(8学时)

1.理解空间坐标系,掌握向量的概念、意义与加法、减法、数乘运算及其坐标表示*

2.掌握向量的内积和外积的概念、计算方法及其几何意义*

3.掌握空间曲线与曲面的表示,包括二次曲面、锥面、柱面、螺旋线等Δ

4.掌握平面与空间直线的方程表示及其计算方法,掌握线线、线面、面面夹角的计算以及相互的位置关系*

()多元函数微分学及其应用(38学时)

1.理解多元函数、多元函数的极限与连续的定义,了解多元连续函数的性质.

2.理解方向导数、偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解多元函数

方向导数存在、偏导数存在、可微与连续间的关系*

3.了解梯度概念及其计算方法Δ

4.熟练掌握复合函数求导法,会求多元复合函数的高阶偏导数,掌握隐函数求导法*

5.掌握向量值函数的导数、微分的概念和其求法

6.会求空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线Δ

7.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握求条件极值的拉格朗日乘数法,会求解一些较简单的

最大值和最小值的应用问题

()多元函数积分学及其应用(40学时)

1.理解多元函数积分的概念,了解多元函数积分的性质。

2.熟练掌握二重积分和三重积分的计算法*.

3.理解第一型曲线积分和曲面积分的概念及性质,熟练掌握其方法*

4.理解第二型曲线积分和曲面积分的概念及性质,熟练掌握其方法*

5.理解各类积分之间的联系,掌握Green公式、Gauss公式、Stokes公式

6.掌握曲线积分与路径无关的条件,了解散度,旋度的概念,会求散度与旋度Δ

()常微分方程(24学时)

1.理解微分方程解的存在性、唯一性,首次积分、可积组合等概念*

2.理解微分方程组的基解矩阵等概念,掌握解的存在定理及解的求法*

3.掌握常系数线性方程组的特征根及通解的求法*

4.熟悉高阶线性微分方程解的结构,掌握其通解的求法Δ

5.了解微分方程解的稳定性的概念,掌握Liapunov函数判别法Δ

()无穷维分析初步(自学内容,不安排课堂学时).

1.理解内积空间、赋泛线性空间的概念,熟悉空间的拓扑结构和完备性,掌握压缩映射原理。

2.了解 Lebesgue测度和Lebesgue积分。

3.理解正交投影、正交变换的概念,掌握变分引理和正交分解定理,熟悉Hilbert空间的正交性。

课程考核形式与要求: 

   明确课程考核成绩由几个部分构成,考核的侧重点,相对于知识单元(或课程的各个构成部分)大致的分数分配。考核形式(如开卷考试、闭卷考试、面试、停课考试、随堂考试、总结报告等)。

本课程共有两个学期,每学期的成绩都由平时成绩(包括课堂表现和课外作业)、期中考试成绩、期末考试成绩组成,大约分别占据总成绩的

10%20%70%,期中考试和期末考试均为闭卷考试,每学期大致的分数分配如下:

第一学期 
(一)、映射、极限与连续             20%

(二)、一元函数微分学及其应用       30%

(三)、一元函数积分学及其应用       35%

(四)、无穷级数                     15%

第二学期 
(补充内容)、空间解析几何            5%

()、多元函数微分学及其应用        35%

()、多元函数积分学及其应用        35%

()、常微分方程                    25%

课程教授方法说明:

    指出课程教学中的难点、建议的应对策略、方法以及教学手段。

    极限理论是课程教学中的一个难点,包括数列极限的ε—N定义,极限的计算,极限性质,无穷小、无穷大的概念,收敛数列的柯西准则,区间套定理;极限的ε—定义及单侧极限,两个重要极限。函数连续的概念和性质,间断点的分类,闭区间上连续函数的性质。要求学生掌握求N及δ的方法,从实例了解收敛数列、有界数列、单调数列及子数列,以及收敛准则。理解函数在一点连续与间断的概念,并会判定间断点类型;掌握函数的连续性判定方法及其连续在极限运算中的运用。理解闭区间上连续函数的性质(有界性定理、介值定理、最值定理),并会应用这些性质。

    在一元微分学中,中值定理(包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理与泰勒公式)是学习的难点,需要重点讲授,特别要说明各个定理之间的关系及其应用的背景;在一元积分学中,Riemann可积性概念与Riemann积分的性质,可积函数类的理解是学习的难点,在讲授的过程中要特别注意对积分概念和可积性条件的引入,说明可积函数与连续函数的关系,从而加深对可积函数类的理解。

    由于工科数学分析是一门较难的数学基础类课程,特别对刚刚深入大学的本科一年级学生,存在着学习方法、学习态度、授课方式的种种不适应,因此难点比较多。若能抓住学生在学习伊始遇到的一系列难点,耐心讲授,逐个突破,有效地利用多媒体课件和黑板板书的结合,通过微积分的诞生、发展、应用中的典故激发学生的兴趣,则对学生学好本课程具有积极的意义。

课程能力培养说明:

    明确以知识为载体进行能力训练和素质培养的观点,对课程教学中所传授的学科(课程所属学科)所特有的思维方法、研究手段进行说明,要能够说明课程教学中如何通过知识单元或若干个知识点的传授过程来达到何种素质的培养和何种能力的训练,

通过本课程培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。通过系统的学习与严格的训练,使学生全面掌握工科数学分析的基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
   
工科数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法。通过加强分析基础的学习,特别是实数理论、极限理论、微分与积分的定义及其关系等,加深学生对现代数学的理解,提高学生的数学修养。同时,微积分理论的产生离不开物理学,天文学,几何学等学科的发展,在教学中,应强化微积分与相邻学科之间的联系,强调应用背景,充实理论的应用性内容。

先修课程

初等数学

使用教材

王绵森,马知恩. 工科数学分析基础(第二版),高等教育出版社,2006

考书目与文献

1.华东师范大学数学系,《数学分析》(上,下), 高等教育出版社, 2001

2R.柯朗,F.约翰,《微积分和数学分析引论》,刘嘉善等译,科学出版社,2001

3.复旦大学数学系,《数学分析》,高等教育出版社,1983

4邓东皋,尹小玲,《数学分析简明教程》,高等教育出版社,1999

5Rudin,《数学分析原理》,赵慈庚,蒋铎译,高等教育出版社,1979

6吉米多维奇,《数学分析习题集》,李荣冻 译,高等教育出版社,1958

7郑维行等,实变函数与泛函分析概要(第一、二册.第二版).高等教育出版社,1992.

课程相关主要网站

http://www.ikepu.com/maths/maths-index.htm(科普网站)

http://202.116.65.193/jinpinkc/sxfx/(国家精品课程)

http://gc.nuaa.edu.cn/math(高数精品课程)

课程教学方式

课堂授课使用电子教案演示和黑板书写相结合,加强学生的讨论和自学

主要适用专业

工科强化班

 
   

课程组长意见

(签名):

      

教学院长意见

(签名):