课程教学大纲   上一页 下一页

课程编号

08150230

开课学院

理学院

开课系

数学系

课程名称

中 文

高等数学I

课程类别

必修

英 文

Advanced Mathematics I

课程学时

总学时

理论教学

实验教学

 

课程设计

200

200

0

0

1.   2. 无√

课程简介:
简要描述课程的性质及专业地位,培养目标(理论、能力和技能)

    《高等数学》课程是理工科大学的一门重要基础理论课。通过本课程的学习使学生系统地获得微积分、矢量代数与空间解析几何以及微分方程等近代数学方面的基本知识、基本理论和基本技能,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在使学生获得必须的数学知识的同时,本课程着重要培养学生的逻辑思维能力,空间想象能力,熟练的运算能力,分析问题、解决问题的能力并通过该课程的学习使学生具有数学建模的基本思想。

前修课程、能力和知识结构要求:

    明确学生学习本门课程的先修课程,主要能力和知识结构。
    
本课程的先修课程为以初等数学为主要内容的三年全日制高中数学课程, 要求学生掌握初等代数及初等几何方面的基础知识。

课程结构说明:

    对课程的组织结构进行简要说明,即明确课程所述内容由几个大的部分构成,每个部分的教学由哪几个环节或单元组成(如:理论授课、实验教学,上机实习,课外作业,随堂考试,讨论会,总结报告等)

    该课程由 1. 极限、连续;2.一元函数微积分学;3.向量代数和空间解析几何;4.多元函数微积分学及场论;5.无穷级数(包括傅里叶级数)6.常微分方程等六大部分组成。教学环节采取以课堂讲授为主,辅之以习题课、课堂练习、课外作业。
    该课程的教学分两学期完成。第一学期完成1. 极限、连续;2.一元函数微积分学;3.向量代数和空间解析几何三部分的教学,第二学期完成4.多元函数微积分学及场论;5.无穷级数(包括傅里叶级数)6.常微分方程三部分的教学。

课程知识结构说明:

明确课程涉及的学科知识领域、知识单元,每个知识单元由哪些知识点构成以及每个知识单元的学习目标,明确核心知识点(用“*”标示)和扩展性知识点(用“Δ”标示)、必讲要求和选讲及自学要求。课程学时分布(按知识单元说明,并对核心知识点与较大的知识点进行必要的学时标注)。课程如包含实验或实践性等环节,还需要说明该部分的学时要求以及内容、方案和作用。
    本大纲教学要求的高低不同词汇加以区分,对概念、理论从高到低,用“理解” “了解”“知道”三级区分,对运算方法从高到低用“熟练掌握”“掌握”“会”“能”三级区分,“熟悉”一词相当于“理解”,“熟练掌握”。

一、函数、极限,连续

1.基本概念:函限概念,无穷小概念,连续性概念
2.基本理论:收敛数列性质,极限存在定理,无穷小性质,闭区间上连续函数性质
3.基本方法:极限运算法则

二、教学要求
1.       理解函数概念,会求函数的定义域,函数值,能列出简单的函数关系。
2.       了解反函数,复合函数的概念,掌握初等函数的复合过程。
3.       了解函数的简单特性(单调性、奇偶性、周期性、有界性)。
4.       熟悉基本初等函数的性质及图形,掌握函数作图的基本方法,了解双曲函数的性质及图形。5.       理解极限的ε-N、ε-δ定义。
6.       知道收敛数列的性质(唯一性、有界性、保号性、不等式性质)及极限存在定理。
7.       掌握极限四则运算法同及重要极限会用夹逼准则及单调有界准则8.       了解无穷小及无穷大的概念,掌握无穷小的比较。
9.       理解函数在一点处连续的概念,会判断间数点的类型。了解初等函数的连续性,知道闭区间上连续函数的性质(介值定理,最值定理,有界性,一致连续性)。

三、重点与难点
1.重点  函数概念(介绍分段函数)极限概念,无穷小比较,函数在一点处连续定义,极限的四则运算。
2. 难点   极限的ε-N、ε-δ定义
3.基本训练
      i) 准确理解定义,定理,培养严谨的学风。ii) 掌握极限求法,培养熟练的运算能力

四、教学安排(共20学时)
   
函 数 3   极限 9
    
连 续   2习题课:6

五、课外作业:80100

二、一元函数微分学

一、 基本内容:
1. 基本概念:导数概念,微分概念
2. 基本理论:微分中值原理
3. 基本方法:微分法,洛必达法则,应用导数研究的性态(单调,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率)函数作图。

二、教学要求:
1. 理解导数及微分的概念,了解导数的几何意义及物理意义,了解微分的几何意义,了解可导与连续的关系,了解可微性与可导性的关系,知道一阶微分形式不变性,知道微分在近似计算中的运用。
2. 熟练掌握微分法(基本公式,四则运算法则,算合函数求导法,反函数求导法,隐函数求导法,参数方程求导法)。
3. 了解高阶导数概念,知道二阶导数的力学意义,熟练求出函数的一、二阶导数,会法语基本初等数的n阶导数,知道n阶导数的线性运算法则及莱布尼兹公式。
4. 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、台劳定理、柯西定理。会用拉格朗日中值定理及台劳定理,知道ex,sinx,cosx,ln(1+x), (1+x)a的台劳公式。
5.掌握洛必达法则
6. 理解函数极值的概念,掌握应用一阶导数和二阶导数研究函数的极值,会解决简单的最值应用问题。
7. 掌握函数作图,(包括单调性,凹凸性判断,极值点,拐点,渐近线(包括斜渐近线)的求法)。
8. 知道曲率和曲率半径的概念,知道曲率园,并会算出曲率和曲率半径。

二、教学安排(共28学时)
导数与微分 8
中值定理 4
中值定理的应用 6
习题课 10

四、重点与难点
1.重点:导数和微分的概念,微分法,微分中值原理,极值判定,洛必达法则
2.难点:复合函数求导,n 阶导数,台劳定理
3.基本训练
i) 掌握微分法,培养熟练的运算能力。
ii)高等数学证题法,培养分析问题的能力及逻辑推理能力。
iii) 导数概念,培养抽象数学模型能力,应用导数研究函数解决有关实际问题一提高基本技能。

五、课外作业 180230

三、一元函数积分学

. 基本内容:
1. 基本概念:原函数的概念,不定积分的概念,定积分的概念,广义积分的概念
2. 基本理论:定积分性质,原函数存在原理,牛顿一莱布尼兹公式
3. 积分法(不定积分,定积分的计算),积分元素法, 广义积分判敛法

二、教学要求
1.       理解原函数和不定积分的概念及性质。
2.       熟练掌握积分法(基本公式表,线性运算法则,换元积分法,分部积分法,有理函数积分法   ,  三角有理式的积分法,简单无理函数积分法)。
3.       理解定积分的的概念和性质,了解定积分和几何意义,知道有关函数的可积性。
4.       熟悉原函数存在定理,牛顿一莱布尼兹公式及变限积分的求导公式。
5.       熟练掌握定积分的换元积分法,分部积分法,会利用定积分性质进行定积分计算。
6.       知道定积分的近似计算法(梯形法,抛物线法)。
7.       掌握积分元素法解决应用问题。
8.       熟练掌握用定积分来表达一些几何量与物理量(平面图形面积,书籍截面积的立体的体积,平面曲线弧长,旋转侧面积,重心,功、转动惯量,引力等等)。
9.       会判别广义积分的收敛性,了解Γ-函数与B-函数。

三、重点与难点
重点  不定积分,定积分的概念,积分法,变上限定积分作为上限的函数,积分元素法
难点  定积分定义,换元积分法,积分元素
基本训练
i) 掌握积分法  培养熟练的运算能力
ii) 掌握积分元素法,准确理解定积分的概念,培养抽象数学模型能力,解决有关实际问题,提高基本技能。

四、教学安排(共30学时)
 
不定积分 6
  
定积分6
  定积分应用 4
 
广义积分4
  习题课10

五、课外作业 240300

四、矢量代数与空间解析几何

一、基本内容
基本概念:空间直角坐标的概念,向量的概念,曲面与方程、空间曲线与方程。
基本理论:平面与三元一次方程的对应。
基本方法:向量代数的线性运算、点乘与叉乘的运算方法,根据已知条件建立各类平面、直线方程的方法。

二、教学要求
1.        理解有关概念(空间直解坐标系,柱坐标系,球坐标的概念,矢量的概念,空间曲线方程及曲面方程的概念)。
2.        熟悉矢量的坐标表达式。
3.        掌握矢量运算(线性运算,点乘,叉乘,混合积)
4.        熟悉平面方程和直线方程
5.        依照一定条件,会求出平面方程和直线方程,以及会解决平面和直线的有关问题。
6.        会写出空间曲面和空间曲线的一般方程及参数方程。
7.        熟悉母线平行于坐标轴的柱面方程,以坐标轴为旋转轴的旋转面方程,顶点在原点的锥面方程和球面,椭球面,双曲面,抛物面的标准方程,以及它们的图形。
8.        掌握空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。掌握用不等式表示空间曲面的在坐标面上的投影域。
9.        会用平面截割法,会作出由二次曲面围成的空间立体的图形。
10.    了解坐标系的平移变换及坐标轴的旋转变换。
11.    会求矢量函数的导数,知道矢量函数导数的几何意义及物理意义,知道空间曲线的曲率公式

三、重点与难点
1. 重点:空间坐标系, 用矢量的坐标表达式进行运 算,两矢量夹角及垂直、平行的条件,平面方程的点法式和一般式,直线方程点向式和一般式,各类平直关系曲面方程,曲线方程的概念,投影曲线及投影域的求法。二次曲面的方程及图形
2. 难点:  平直关系, 认识甚至描绘空间图形
3. 基本训练
i) 以矢量为工具解决线、面有关问题,培养学生对矢量的熟练运用和分析解决问题的能力。
ii) 方程与图形的对应,培养学生的空间想象能力。

四、教学安排(共20学时)

  矢量运算 6
 
平面与直线 4
 
二阶曲面与空间曲线, 坐标变换 6
 
习题课4

五、课外作业: 80100

五、多元函数微分学

. 基本内容
1.基本概念:平面点集基本知识,多元函数的概念。偏导数的概念,全微分的概念,方向导数的概念,梯度的概念,多元函数极值的概念
2. 基本理论:连续,偏导数,全微分之间的关系,二元台劳公式,隐函数存在定理,反函数存在定理,变数变换。
3. 基本方法:微分法,用偏导数求多元函数极值,求空间曲面的切平面及法线,求空间曲线的切线及法平面。

二、教学要求
1.       理解多元函数的概念,知道二元函数的几何表示,了解平面点集的基本知识。
2.       知道二元函数的极限,连续等概念,有界闭域上连续函数的性质。
3.       理解偏导数、方向导数、梯度和全微分的概念,了解全微分存在的弃分条件和必要条件。
4.       熟练掌握求复合函数偏导数及二阶偏导数,会求全微分,方向导数,梯度,知道二元函数台劳公式。
5.       知道隐函数存在定理,掌握隐函数偏导数求法(包括由方程组确定隐函数)知道雅可比行列式性质。
6.       理解多元函数极值的概念,会求函数的极值及简单的最值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。会求用一般方程和参数方程表示的曲面的切平面及法线,会求用一般方程和参数方表示的曲线的法平面及切线。

三、重点与难点:
1. 重点  点函数的概念  偏导数    全微分的概念   微分法
2. 难点  全微分的概念  复合函数微分法   高阶偏导数   变量代换
3. 基本训练
i) 正确理解多元函数,极限,连续,偏导数,方向导数,梯度等概念,培养分析总是和解决问题的能力及自学能力。
ii) 掌握微分法,培养熟练的运算能力,分析问题的能力。
iii) 应用偏导数研究函数解决实际问题----提高基本技能。

四、教学安排(共20学时)

  多元函数基本概念,偏导数,全微分 4
 
多元函数微分法,泰勒展式   7
  多元函数微分法应用 3
 
习题课 6

五、课外作业120150

六、多元函数积分学及场论

一、基本内容  
1
. 基本概念:二重积分,三重积分的概念,曲线积分的概念,曲面积分的概念,全微分方程的概念,散度,旋度的概念。
2. 基本理论:格林公式,高斯公式,斯托克斯公式,平面曲线积分与路径无关的条件。
3. 基本方法:重积分计算方法,曲线积分汁算方法,曲面积分计算方法,原函数求法。

二、教学要求
1. 理解二重积发及三重积分的概念和性质。
2. 熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标系,极坐标代换,一般代换)。熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标系,柱坐标系,球坐标系,一般代换)。
3. 理解两类曲线积分和曲面积分的概念,知道它们的性质,掌握它们的计算方法。
4. 理解并掌握格林公式,掌握平面曲线积分与路径无关的条件。
5. 会识别全微分方程,并会求解全微分方程,了解解一阶方程的积分因子法。
6. 熟悉高斯公工及斯托克斯公式,及其矢量表示,知道向量微分算子▽,△。
7. 了解通量与散度,环量与旋度的概念,并会进行计算。
8. 能用重积分,曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量(体积,质量,曲面面积,功,重心,转动惯量,引力等)。

三、重点及难点
1.重点:重积分的概念与计算,线面积分的概念与计算,格林公式,平面曲线积分与路径无关的条件,各类积分的应用。
2.难点:重积分计算,二型线面积分计算,格林公式,旋度
3.基本训练
i)掌握重积分、线面积分计算方法,培养学生空间想象能力和熟练的运算能力。
ii)掌握积分元素法,准确理解积分概念,联系实际培养抽象数学模型能力,解决实际问题。   iii)准确理解格林公式,斯托克斯公式,高斯公式,培养自学能力,分析推理能力和解决实际问题的能力。   

四、教学安排(共34学时)
重积分 重积分应用 10; 面积分6;

线积分8; 场论2; 习题课 8

五、课外作业: 100120

七、级数

一、基本内容
1.基本概念:数项级数收敛与发散的概念,函数项级数的收敛域及和函数的概念,幂级数的概念,付氏级数的概念。
2.基本理论:收敛级数的性质,一致收敛级数的性质,函数展开为台劳级数的条件,付氏级数的收敛定理。
3.基本方法:数项级数判敛法,求幂级数及付氏级数的收敛域及和函数。函数展开为幂级数,函数展开为付氏级数。

二、教学要求
1.理解级数的有关概念(收敛,发散,和)熟悉收敛级数的性质。
2.掌握等比级数和P级数的敛散性。熟练掌握正项级数的比较判别法,比值判别法,了解积分判别法,根值判别法。
3.掌握交错级数的莱布尼兹定理,了解绝对啦敛与条件收敛的概念以及它们的关系,知道狄里赫莱判别法与阿贝尔判别法,了解绝对收敛级数的性质。
4.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。知道一致收敛的概念,知道维尔斯特拉斯优级数判别法及一致收敛级数的性质(连续性,逐项可积,逐项可微)
5.熟练掌握幂级数的收敛域的求法,熟悉幂级数在其收敛域内的基本性质,会利用幂级数的性质求和函数。
6.知道函数展开为台劳级数的充要条件,掌握将函数展开为幂级数的直接方法·
7.掌握exsinx, cosx,ln(1+z)(1+z)。的马克劳林展式,熟练掌握将函数展开为幂级数的问接方法。
8.会用幂级数进行一些近似计算。
9.知道函数展开为付氏级数的充分条件,能将定义在[-π,π][-l, l ]上的函数展开为付氏级数,能将定义在[Oz]上的函数展开为正弦或余弦级数,知道复数形式的付氏级数。

三、重点和难点
1.重点:无穷级数收敛与发散的概念,正项级数比较判别法,比值判别法,交错级数的莱布尼兹定理。函数展开为幂级数的间接方法,定义在[-l, l ]上的函数展开为付氏级数。
2.难点:一致收敛的函数项级数的性质。
3.基本训练
i) 数项级数的判敛,培养综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力。
ii)函数展开为幂级数及函数展开为付氏级数,培养运算能力,培养综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
iii)收敛级数的性质,培养严谨的学风

四、教学安排(22学时)
数项级数6 ; 付氏级数 6;
函数项级数,幂级数 6 ;习题课 4
五、课外作业: 80100

九、含参变量的积分*

一、教学要求:
1.了解固定限含参变量积分的性质(连续性,可积性,可微性)
2
.了解变动限含参量积分的性质(连续性,可微性)
3
.了解含参变量广义积分的性质(连续性,可微性,可积性)
二、教学安排(共4学时)
三、课外作业
510

十、常微分方程简介

一、 基本内容:
1. 基本概念:微分方程的概念,解、通解、特解的定义,定解问题的概念。
2. 基本理论:线性方程解的结构定理,解的存在与唯一性原理。
3. 基本方法:用分离变量法解变量可分离方程,用常数变易法解一阶线性方程,变数代换法,降阶法,二阶线性方程的解法

二、教学要求
1.     了解微分方程的有关概念(微分方程,定解问题,解,通解,特解)。
2.     了解微分方程哥西问题解的存在与唯一性定量。
3.     熟练掌握初等积分法(分离变量法、常数变量法、初等变换法、降价法等)
4.     了解线性微分方程解的存在与唯一性定理,了解线性方程解的结构定理。
5.     知道二阶线性齐次方程的解法,熟练掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
6.     会用常数变易法求二阶线性非齐次方程的特解,熟练掌握用待定系数法求解自由项为Pm(x)eλx型的常系数非齐次线性方程。
7.     会解欧拉方程。
8.     掌握微元法,利用微分方程解一些简单的几何问题和物理问题。
9.     会用消元法及首次积分法解常系数线性微分方程组。

三、重点与难点

1. 重点  变量分离方程,一阶线性方程,二阶常系数线性方程
2. 难点  线性方程解的结构定理,自由项为Pm(x)eλx的二阶线性方程的解法,微元法
3. 基本训练
i) 解方程:迅速判断所给方程类型,熟悉各类方程的解法,灵活引进变换化所给方程为已知类型。---培养熟练的运算能力和灵活运用微积分知识的能力。
ii) 解应用题:列方程,解方程,将所得结果对实际总是作出正确的解释----理论联系实际,培养学生的抽象概括能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

四、教学安排(共20学时)
 一阶及可降阶微分方程6; 常系数线性方程组 2;
二阶线性微分方程 8; 习题课 4
;
五、课外作业:
80100

课程考核形式与要求:

   明确课程考核成绩由几个部分构成,考核的侧重点,相对于知识单元(或课程的各个构成部分)大致的分数分配。考核形式(如开卷考试、闭卷考试、面试、停课考试、随堂考试、总结报告等)

   该课程的考核成绩由期中考试成绩、期末考试成绩、平时作业成绩三部分组成。其中,期中考试成绩占最终课程成绩的20%, 期末占70%,平时作业占10%。考试采用闭卷考试的形式(进行考试教改实验的班级可根据具体情况经批准后另行采用标准)

  第一学期考试分数分配参考

1. 极限、连续;                20
2.一元函数微积分学;           60
3.矢量代数和空间解析几何      20

第二学期考试分数分配参考
4.多元函数微积分学与场论;    55
5.无穷级数(包括傅里叶级数)  20
6.常微分方程                  25

课程教授方法说明:

   指出课程教学中的难点、建议的应对策略、方法以及教学手段。

   通过多年的教学,学生对极限概念的理解、不定积分与定积分的求法及应用等掌握不够理想,但它们也是课程的理论基础、重点和难点。另外,对于无穷级数(包括幂级数)的收敛性判别,微分方程的求解等等也是教学中的难点。在教学中,应该根据学生的实际情况,将基本理论讲透。同时通过联系和答疑,解决学生的具体问题。应注意由浅入深,避免不必要的重复,在基本运算方面,例如求极限、求导数与微分、求不定积分与定积分、曲线方程与曲面方程等,应通过例题及习题,使学生受到足够的训练,掌握有关方法。

课程能力培养说明:

    明确以知识为载体进行能力训练和素质培养的观点,对课程教学中所传授的学科(课程所属学科)所特有的思维方法、研究手段进行说明,要能够说明课程教学中如何通过知识单元或若干个知识点的传授过程来达到何种素质的培养和何种能力的训练.

    在教学中,要体现重基础,强能力的观念.要强化对基本理论,基本知识的掌握.对于一些数学概念,要尽量讲出它的历史背景与应用背景.要充分利用多媒体等教学手段,充分利用网络技术与学生进行交流,通过教学互动达到教学相长.使学生真正掌握高等数学这门基础课,为今后的学习和工作打下坚实的基础。本课程着重要培养学生的逻辑思维能力,空间想象能力,熟练的运算能力,分析问题、解决问题的能力并通过该课程的学习使学生具有数学建模的基本思想。

先修课程

全日制三年高中数学课程

使用教材

《高等数学》(自编讲义),何柏庆、王晓华、肖瑞霞、徐海燕等编

书 目
与文献

 

课程相关主要网站

 http://gc.nuaa.edu.cn/math(高数精品课程)

课程教学方式

讲授

主要适用专业

四院及八院各专业

 
   

课程组长意见

(签名):

      

教学院长意见

(签名):