课程教学大纲   上一页 下一页

课程编号

08150330

开课学院

理学院

开课系

数学系

课程名称

中 文

高等数学Ⅱ

课程类别

必修

英 文

Advanced Mathematics

课程学时

总学时

理论教学

实验教学

 

课程设计

176

176

   

1.   2. 无√

课程简介:
简要描述课程的性质及专业地位,培养目标(理论、能力和技能)

   《高等数学》课程是理工科大学的一门重要基础理论课。通过本课程的学习使学生系统地获得微积分、矢量代数与空间解析几何以及微分方程等近代数学方面的基本知识、基本理论和基本技能,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在使学生获得必须的数学知识的同时,本课程着重要培养学生的逻辑思维能力,空间想象能力,熟练的运算能力,分析问题、解决问题的能力并通过该课程的学习使学生具有数学建模的基本思想。


前修课程、能力和知识结构要求: 

明确学生学习本门课程的先修课程,主要能力和知识结构。

    本课程的先修课程为以初等数学为主要内容的三年全日制高中数学课程, 要求学生掌握初等代数及初等几何方面的基础知识。

课程结构说明:

    对课程的组织结构进行简要说明,即明确课程所述内容由几个大的部分构成,每个部分的教学由哪几个环节或单元组成(如:理论授课、实验教学,上机实习,课外作业,随堂考试,讨论会,总结报告等)
    该课程由 1. 极限、连续;2.一元函数微积分学;3.向量代数和空间解析几何;4.多元函数微积分学;5.无穷级数(包括傅里叶级数);6.常微分方程等六大部分组成。教学环节以课堂讲授为主,辅之以习题课、课堂练习、课外作业。   

该课程的教学分两学期完成。第一学期完成1. 极限、连续;2.一元函数微积分学;3.向量代数和空间解析几何三部分的教学,第二学期完成4.多元函数微积分学;5.无穷级数(包括傅里叶级数);6.常微分方程三部分的教学

课程知识结构说明:

    明确课程涉及的学科知识领域、知识单元,每个知识单元由哪些知识点构成以及每个知识单元的学习目标,明确核心知识点(用“*”标示)和扩展性知识点(用“Δ”标示)、必讲要求和选讲及自学要求。课程学时分布(按知识单元说明,并对核心知识点与较大的知识点进行必要的学时标注)。课程如包含实验或实践性等环节,还需要说明该部分的学时要求以及内容、方案和作用。

本大纲包括:(一)基本内容(二)教学要求(三)重点与难点(四)教学安排(五)课外作业
  
    教学要求的高低用不同的词汇加以区分,对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分,对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、“掌握”、“会”或“能”三级区分。熟悉一词相当于“理解”并“熟练掌握”。

一、函数、极限、连续

 ()基本内容:
基本概念:函数概念、极限概念、无穷小概念,连续性概念。    
基本理论:无穷小的运算定理,两个极限存在的准则,极限与无穷小量的关系,闭区间上连续函数的性质。
基本方法:极限运算法则。

 ()教学要求:
1.理解函数的概念及其表示法,会求常见函数的定义域,了解函数的单调性、周期性和奇偶性。
2. 基本初等函数的类型、性质及其图形。
3.理解复合函数的概念。掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。
4.了解反函数的概念。
5.能列出简单实际问题中的函数关系。
6.了解极限的ε-N、ε-δ 定义(对于给出ε求N或δ不作过高要求),知道左右极限概念。
7.了解无穷小与无穷大的概念以及它们间的关系。掌握无穷小的比较。了解变量与其极限以及无穷小量之间的关系。 
8
.掌握极限四则运算法则。  
9
.了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)。会用两个重要极限求极限。
10.理解函数在一点连续的概念,会判断问断点的类型。
11.了解初等函数的连续性,掌握其极限的求法。知道在闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大值最小值定理)

 ()重点与难点
重点:函数概念;极限概念及其运算法则,无穷小量及其主要性质,两个重要极限;函数在一点连续的概念。
难点:极限的ε-N,ε-δ定义,以及用此定义去验证极限。

 ()教学安排:14学时。
1.函数:讲课2学时,
2.极限:讲课7学时,
3.连续:讲课3学时,
习题课2学时。

()课外作业:6080题。

二、一元函数微分学

 ()基本内容:
基本概念:导数定义,微分定义,极值概念。  
基本理论:拉格朗日定理,泰勒定理,函数增减性判别法,可微函数取极值的必要条件与充分条件.  
基本方法:导数的四则运算法则,复合函数求导法;罗必塔法则;应用导数研究函数性态及作图的方法。

 ()教学要求:
1.理解导数的概念,了解其几何意义。能用导数描述一些物理量。
2.了解函数的可导性与连续性之间的关系。
3.熟悉导数的四则运算及复合函数求导法则以及导数的基本公式。
4.了解高阶导数的概念。能熟练地求初等函数的一阶、二阶导数,并能推出诸如xmexsinxln(1+x)等基本初等函数的n阶导数的一般表示式。
5.掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法,并掌握对数求导法。
6.理解微分的概念,了解其几何意义。
7.熟悉微分形式不变性,会用微分作近似计算。
8.理解罗尔定理与拉格朗日定理;会应用拉格朗日定理。
9.了解柯西定理和泰勒定理,能将常用的函数(ex sinxcosxln(1+x)(1+x)m)展成马克劳林公式,并会写出他们的拉格朗日型余项。
10.掌握用罗必塔法则求未定式的极限;会将不太复杂的其他未定式极限转化为这两种未定式极限。
11.掌握函数增减性的判定法及可微函数取极值的必要条件与两个充分条件。会解决较简单的最值应用问题。 
12
.掌握曲线凹性的判定法与曲线拐点的求法。能描绘函数图形(包括水平与铅直渐近线)
13.知道弧长微分的公式、曲率和曲率半径的概念,并会计算曲率和曲率半径。

()重点与难点
重点:导数的概念,导数的四则运算及复合函数求导法;微分概念;拉格朗日定理, 罗必塔法则,函数增减性的判定法,极值的求法。
难点:复合函数求导法, 泰勒定理。

()教学安排:32学时。
1.导数与微分:讲课10学时,习题课2学时。
2. 中值定理:讲课 6 学时,习题课 2 小时。
3.导数的应用:讲课10学时,习题课2学时。

 ()课外作业:150170

三、一元函数积分学

 ()基本内容
基本概念:原函数的概念,不是积分的概念,定积分的概念。
基本理论:定积分作为变上限的函数及其求导定理,牛顿一莱布尼兹公式。
基本方法:不定积分的换元积分法与分部积分法;定积分的换元积分法与分部积分法。

 ()教学要求
1.理解原函数与不定积分的概念及性质。
2.熟悉基本积分公式。   
3
.熟练掌握不定积分的换元积分法。(对第一类换元法(即凑微分法)包括经过简单的代数和三角变换化为这种类型的积分)对第二类换元法, 特别要求切实掌握三角代换。
4.熟悉分部积分法。
5.掌握较简单的有理函数的积分法.会求三角函数有理式与简单无理函数的积分。
6.理解定积分的概念、性质及几何意义。
7.理解可变上限定积分作为其上限的函数及其求导定理。
8.熟悉牛顿一莱布尼兹公式。
9.熟悉定积分的换元法与分部积分法。
10.熟练掌握用定积分求一些几何量与物理量(如平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长和功等等)
11.掌握定积分解决实际问题的一般步骤与方法(强调积分元素法),并能独立地解一、两个未讲过的较简单的应用问题。
13.了解广义积分的概念,会计算简单的广义积分。

 ()重点与难点:
重点:不定积分的概念,基本积分公式,换元积分法,分部积分法,定积分的概念,定积分作为变上限的函数及其求导定理,牛顿一莱布尼兹公式。
难点:不定积分的第一类换元法(即凑微分法),定积分的定义。牛顿一莱布尼兹公式的证明。

 ()教学安排:28学时。
1.不定积分:讲课8学时,习题课2学时。
2.定积分:讲课8学时,习题课2学时。
3.定积分应用:讲课6学时,习题课2学时。

 ()课外作业:150170题。

四、向量代数与空间解析几何

 ()基本内容
基本概念;空间直角坐标的概念,向量的概念,曲面与方程、空间曲线与方程。
基本理论:平面与三元一次方程的对应。
基本方法:向量代数的线性运算、点乘与叉乘的运算方法,根据已知条件建立各类平面、直线方程的方法。

()教学要求:
1.理解空间直角坐标的概念,向量的概念。
2.掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法)。掌握两个向量夹角的求法与平行、垂直的条件。
3.熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式。熟练掌握用坐标表达式进行向量的运算、会求向量的混合积。
4.熟悉平面的点法式方程与一般方程及求法。掌握平面的截距式方程。
5.熟悉空间直线的标准式(点向式)与一般式方程及其求法。掌握空间直线的参数方程。
6.掌握两直线间、两平面间、平面与直线间的夹角公式。熟练掌握应用“平行、垂直”条件建立平面、直线方程。  
7.
理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其图形。掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8. 掌握空间曲线的参数方程和一般方程。
9. 掌握求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方法。 
10.
会绘制由几个较简单的曲面围成的立体图形。

()重点与难点
重点:向量概念,向量的坐标,点乘与叉乘、平面的点法式方程,直线的标准方程,曲面方程的概念。
难点:叉乘的概念,绘制几个曲面围成的立体图形。

()教学安排:16学时
讲课12学时,习题课4学时。

()课外作业6080

五、多元函数微分学

()基本内容:
基本概念:多元函数的概念,偏导数的概念,全微分的概念,多元函数极值的概念。
基本理论:全微分与偏导数的关系。
基本方法:复合函数微分法.应用偏导数求极值的方法。

()教学要求:
1.理解多元函数的概念。知道点函数的概念。
2.知道二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连续函数的性质。
3.理解偏导数,全微分等概念,并掌握偏导数与全微分的计算方法。了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解多元函数的可微与可偏导之间的区别与联系。
4.了解方向导数与梯度的概念。并掌握它们的计算方法。
5.熟悉掌握复合函数的求异法。掌握二阶偏导数的求法。
6.掌握求隐函数的偏导数的方法,会求由方程组确定的隐函数的偏导数。
7.了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线,并掌握它们的方程的求法。
8.理解多元函数极值的概念,会求函数的极值。了解条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极值。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

()重点与难点
重点:偏导数的概念,全微分概念,复合函数微分法。
难点:全微分概念,复合函数(抽象式子)的二阶偏导数的计算。

()教学安排18学时。讲课14学时,习题课4学时。
()课外作业8090题。

六、多元函数积分学  

 ()基本内容
基本概念:二重积分与三重积分的概念,曲线积分及曲面积分的概念。
基本理论:重积分的性质;格林公式,奥氏公式,曲线积分与路径无关的条件。
基本方法:重积分的计算方法,曲线积分及曲面积分的计算方法。

 ()教学要求:
1.理解二重积分、三重积分的概念,知道重积分的性质。
2.熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。掌握三重积分的计算方法(直角坐标、柱坐标、球坐标)
3.理解两类曲线积分的概念。知道两类曲线积分的性质。
4.掌握两类曲线积分的计算方法。
5.熟悉格林公式。掌握平面曲线积分与路径无关的条件。
6.知道两类曲面积分的概念及高斯公式,斯托克斯公式。井掌握两类曲面积分的计算方法。
7.知道散度、旋度的概念。
8.能用重积分、曲线积分及曲面积分来表达和计算一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、质量、重心等)

(三)重点与难点:
重点:重积分的计算法;对坐标的曲线积分计算法。
难点:用球坐标计算三重积分,对坐标的曲面积分计算法。

()教学安排:30学时。  
1.重积分及其应用:讲课10学时,习题课4学时。
2.线面积分与场论:讲课12学时,习题课4学时。

()课外作业100120题。

七、级   

()基本内容:
基本概念:级数收敛与发散的定义。幂级数的收敛区间,傅氏级数的定义。
基本理论:数项级数的比较法;幂级数的四则运算与逐项微分、逐项积分;三角函数组的正交性;尤拉、傅里叶公式。
基本方法:比值审敛法;函数的幂级数表达式以及定义在( -π,π,)上的函数展开为傅氏级数的方法。

 ()教学要求:
1.理解无穷级数收敛、发散以及和概念。了解无穷级数收敛的必要条件。知道无穷级数的性质。
2.熟悉等比级数和P级数的敛散性。
3.掌握正项级数的比较审敛法。熟练掌握正项级数的比值审敛法。
4.掌握交错级数的莱布尼兹定理,并能估计交错级数的截断误差。
5.了解无穷级数绝对收敛的概念,以及绝对收敛与收敛的关系。
6.知道函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7.熟练掌握较简单幂级数的收敛半径与收敛区间的求法。
8.知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9.知道函数展开为泰勒级数的充要条件。
10.掌握,exsinxcosxln(1+x)(1+x)”的麦克劳林展开式。
11.掌握把初等函数展牙为幂级数的直接方法,熟练掌握把初等函数展开为幂级数的“间接方法”。
12.了解三角函数组在[-π,π ]上的正交性。
13.知道函数展开为傅里叶级数的充分条件(狄氏条件)
14.能将定义在[-π,π][-l,l]上的函数展开为傅里叶级数。能将定义在[0,π][0l]上的函数展开为正弦或余弦级数。

()重点与难点:
重点:无穷级数收敛和发散的概念,正项级数的比值审敛法,把函数展开为幂级数的“间接法”以及收敛区间的求法。定义在[-l,l]_上的函数展为傅氏级数的方法。
难点:正项级数比值审敛法的证明.函数展为幂级数的直接法和余项的估计,幂级数在近似计算中的应用。   

()教学安排:20学时。
1.无穷级数:讲课12学时。习题课4学时。
2.傅氏级数:讲课4学时,

()课外作业:100120题。

八、常微分方程

()基本内容:
基本概念:微分方程的定义、解、通解与特解。
基本理论:齐次与非齐次线性微分方程解的结构。
基本方法:解一阶微分方程的分离变量法,解二阶常系数齐次线性微分方程的“特征根法”以及二阶常数非齐次线性微方程特解的“待定系数法”。

 ()教学要求:
 1.了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。
 2.会识别下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程和全微分方程。
 3.熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
 4.会解齐次方程和伯努利方程,并借此知道用变量代换求解方程的思路,能解较简单的全微分方程。   
 5
.掌握高阶特殊型方程:y(n)=f(x), y=f(x,y),和y= f(y,y) 的降阶法。
 6.了解二阶线性微分方程解的结构。
 7.熟练掌握二阶常系数齐次线性方程的解法(特征根法),并知道高阶常系数齐次线性方程的解法
 8.掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程求解的待定系数法。  
 9
.知道常数变易法解非齐次一阶、二阶微分方程的步骤,掌握欧拉方程的解法。
10.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题(如切线、曲率、力学和电学)。 

三)重点与难点:
重点:微分方程的基本概念,变量可分离的微分方程与一阶线性微分方程的解法,二阶常系数线性微分方程的解法。
难点:线性微分方程解的理论,常系数线性微分方程中的复函数解转化为实函数解以及二阶非齐次线性微分方程估计特解的方法,常数变易法。

()教学安排:18学时。

讲课14学时,习题课4学时。

()课外作业:7080题。

课程考核形式与要求:

    明确课程考核成绩由几个部分构成,考核的侧重点,相对于知识单元(或课程的各个构成部分)大致的分数分配。考核形式(如开卷考试、闭卷考试、面试、停课考试、随堂考试、总结报告等)。

    该课程的考核成绩由期中考试成绩、期末考试成绩、平时作业成绩三部分组成。其中,期中考试成绩占最终课程成绩的20%, 期末占70%,平时作业占10%。考试采用闭卷考试的形式。(进行考试教改实验的班级可根据具体情况经批准后另行采用标准)

  第一学期考试分数分配参考

1. 极限、连续;                20
2.一元函数微积分学;           60
3.向量代数和空间解析几何;    20

     第二学期考试分数分配参考
4.多元函数微积分学;          55
5.无穷级数(包括傅里叶级数)  20
6.常微分方程                  25

课程教授方法说明:

   指出课程教学中的难点、建议的应对策略、方法以及教学手段。

   通过多年的教学,学生对极限概念的理解、不定积分与定积分的求法及应用等掌握不够理想,但它们也是课程的理论基础、重点和难点。另外,对于无穷级数(包括幂级数)的收敛性判别,微分方程的求解等等也是教学中的难点。在教学中,应该根据学生的实际情况,将基本理论讲透。同时通过联系和答疑,解决学生的具体问题。应注意由浅入深,避免不必要的重复,在基本运算方面,例如求极限、求导数与微分、求不定积分与定积分、曲线方程与曲面方程等,应通过例题及习题,使学生受到足够的训练,掌握有关方法

课程能力培养说明:

   明确以知识为载体进行能力训练和素质培养的观点,对课程教学中所传授的学科(课程所属学科)所特有的思维方法、研究手段进行说明,要能够说明课程教学中如何通过知识单元或若干个知识点的传授过程来达到何种素质的培养和何种能力的训练,

   在教学中,要体现重基础,强能力的观念.要强化对基本理论,基本知识的掌握.对于一些数学概念,要尽量讲出它的历史背景与应用背景.要充分利用多媒体等教学手段,充分利用网络技术与学生进行交流,通过教学互动达到教学相长.使学生真正掌握高等数学这门基础课,为今后的学习和工作打下坚实的基础。本课程着重要培养学生的逻辑思维能力,空间想象能力,熟练的运算能力,分析问题、解决问题的能力并通过该课程的学习使学生具有数学建模的基本思想。

先修课程

全日制三年高中数学

使用教材

《高等数学》(同济大学出版社)   /   (自编讲义)

书 目与文献

 

课程相关主要网站

http://gc.nuaa.edu.cn/math(高数精品课程)

课程教学方式

讲授

主要适用专业

工科各专业

 
   

课程组长意见

(签名):

      

教学院长意见

(签名):